要说函数能跟点无缝对接，核心就三个：一点没折，一点不穿，一点导数不挂。

也就是说，就是“一点一阶导数连续”。但这玩意儿可不像刚学时那么油嘴滑舌，它背后藏着不少底层逻辑和坑。 先说最好办的，要是导数这个“路线图”本身还是一条光滑的曲线，那函数自然能无折刺地连起来。

比如 $f(x) = x^2 + 2x$，它的导数 $f'(x) = 2x + 2$ 是个完美的直线，彻底没弯折也没尖刺。

这时候函数 $f(x)$ 可微，是出于它的切线全都顺滑地划过每一个点。

反过来，要是导数在某个点出现“折角”要么“尖刺”，函数显然没法跟点完美重合。

这种折角一般出目前绝对值函数 $f(x) = |x|$ 上，在 $x=0$ 处，左边的斜率是 -1，右边的斜率是 1，导数在 0 点不连续，函数也就不可微了。

实际上大量函数都有这个毛病，比如 $sqrt[3]{x}$，在 $x=0$ 处别看函数值存有，但左右导数一个正一个负，导数不连续，故此不可微。 再细一点看，要是导数存有，它是不是也就一定连续？连续函数那叫充要条件，但可微的函数导数不一定连续。

这就是著名的“可导导未必连续”的坑。最典型的反例就是那个“对勾”函数 $f(x) = |x|$。它在整个实数域上处处可导，导数分别是 -1（左边）、1（右边）和 0（中间）。但在 $x=0$ 这个点，导数跳了一下，从 -1 直接跳到了 1，中间根本没过渡。

既然导数在 0 点不连续，那作为“函数可微”的充要条件，它自然也就丧失了。

这说明，函数可微只是导数存有的必要条件，导数连续才是那个更严格的“充分”条件，把两者并列起来才是整个的充要条件。 再往深了想，导数连续和可微之间，仿佛还有层窗户纸。

要是导数存有，它是否连续？

要么反过来，要是导数连续，它是否可微？直觉上，导数连续看起来比可微要“顺”，出于多了连续性这个要求。但数学上有个著名的定理叫“达布定理”（Darboux's Theorem），它说导数函数的值域不能随意跳，务必知足介值性。

这倒不是说导数连续是务必的，只要知足介值性，导数就一定是连续的。而可微函数，其导数肯定知足介值性，故此可微函数的导数一定知足连续性。

也就是说，导数存有且知足达布性质，就等同于可微。 这就引出了个有趣的点：要是两个函数的导数相等，它们一定相等吗？显然不一定。

比如 $f(x) = sin x$ 和 $g(x) = sin x + 1$，它们的导数都是 $cos x$，但函数值差了个常数。

这说明导数只能说明函数的“变化趋势”和“弯曲程度”，不能直接还原出函数的“绝对位置”。 回到可微这一条，它要求函数在每一点都跟切线贴得上。切线是唯一的，出于导数存有保证了这一点。但切线本身能不能跟曲线无限逼近？这就是连续性的故事。可微函数的导数必然连续，这意味着切线一辈子也是光滑的，不会突然折断或跳跃。

反过来，要是一个函数在一点左右导数存有，但导数不连续，比如 $f(x) = x^2 sin(1/x)$（在 $x=0$ 处定义 $f(0)=0$），它在 0 点可微，导数是 0，但左导数和右导数在 0 点极限都不存有（要么说极限值不一致），导数在 0 点不连续。 实际上大量函数都是这样，导数存有却不连续，是不可微的。

比如尖峰函数，导数在顶点处不存有。

还有些函数，导数连续但不可微，比如狄利克雷函数，它在有理数点导数为 0，无理数点导数不存有，显然不可微。可微性是一个比可导性更强的概念，它把“有切线”和“切线能无限逼近”这两个条件都锁死了。 最终总结一下，函数可微的充要条件就是：函数在定义域内处处存有导数，且导数在该点连续。好办说就是“一点一阶导数连续”。

要是导数在某个点出现折角、尖刺或不连续，函数就不可微了。自然，有些函数在局部可微，但在整体定义域不可微，要么反之，具体的判定还得看每一个点的特性。

这个条件有点硬核，计算起来比单纯问函数值是否存有导数难得多，出于它得与此同时保证“有”和“顺”。